PRĘDKOŚĆ, WIELKOŚĆ WEKTOROWA

Z. Gołąb-Meyer

Komentarz do wypowiedzi Waldemara Reńdy ,,O współrzędnej wektora i nie tylko...''

W swoim artykule ,,O współrzędnej wektora i nie tylko...'' [1] Waldemar Reńda porusza jeden z tematów dotyczących trudności w nauczaniu kinematyki, a mianowicie wektorowości pojęcia prędkości.

Prędkość jest pojęciem trudnym i bez użycia adekwatnego aparatu matematycznego, niedostępnego w szkole, określana jest poprzez zdania wprowadzające, siłą rzeczy upraszczające. O całym szeregu trudności występujących w zrozumieniu pojęcia prędkości pisałam szerzej w Fotonie [2] w 1995 roku. Na łamach Fotonu prezentowano dyskusję na temat wprowadzania prędkości i do tej pory do redakcji przychodzą listy na ten temat. Nie ma pełnego konsensusu. To, że problem jest trudny i jakby stale nierozwiązany, ilustrują kolejne podręczniki szkolne. Każdy autor ma swoją propozycję, wypracowaną w praktyce.

Ale to właśnie w dziale kinematyki w szkolnych podręcznikach jest najwięcej błędów merytorycznych. Np. w Fotonie 67 [3] J. Salach omawia kinematykę w przetłumaczonym ostatnio na język polski, a omawianym już w Fotonie 66 [4], podręczniku Hewitta [5].

Wektor to pojęcie z arsenału matematyki, które, tak się składa, wspaniale pasuje do opisu fizycznej rzeczywistości. Niektóre wielkości fizyczne mają naturę wektorową. Są to np.: położenie punktu, prędkość, pęd, siła, natężenie pola elektrycznego, wektor indukcji pola magnetycznego, moment pędu. Nie wszystkie z wymienionych wielkości opisywane są przez dokładnie te same obiekty matematyczne. Zaczepiony wektor położenia nie jest tym samym co swobodny wektor przesunięcia, prędkość, przyspieszenie, czy siła. Z kolei kręt czyli moment pędu jest wektorem osiowym, zaś pola $\vec{E}$i $\vec{B}$ są składowymi tensora.

W matematyce bywa, że jakieś pojęcie można równoważnie, ale różnie definiować. Np. trójkąt równoboczny można określić jako trójkąt o wszystkich kątach równych (i wtedy warto by zmienić nazwę) lub wszystkich bokach równych.

W matematyce można wprowadzić wektor poprzez uporządkowaną parę punktów, która spełnia pewne zasady transformacyjne (tak to proponowała Zofia Krygowska [6]).

Jest to metoda ścisła, elegancka, na której ładnie buduje się rachunek wektorowy i geometrię analityczną. Do tej pory pamiętam jeden z pierwszych wykładów geometrii analitycznej, na którym właśnie tak był określony wektor. Najprzód wektor zaczepiony, uporządkowana para punktów, a następnie wektor swobodny jako klasa równoważnych wektorów zaczepionych.

Oczywiście widać, jak daleka jest droga od uporządkowanej pary punktów do wektora prędkości, czy wektora siły, a później do funkcji falowej jako wektora w przestrzeni Hilberta.

Dydaktycy matematyki, pytani o to, jak wprowadzają pojęcie wektora, odpowiadają, iż chętnie posługują się intuicjami fizycznymi, np. pojęciami siły czy prędkości. I słusznie! Okazuje się, że nawet zupełnie małe dzieci, jak pokazała kiedyś B. Gocłowska z Lublina [7], intuicyjnie wyłapują cechy wektorowości siły, a i uczniowie niższych klas szkoły podstawowej sens wektorowości prędkości, o czym świadczą ich gry w wyścigi samochodowe.

W. Reńda w swoim artykule (str. 61) cytuje definicję prędkości z podręcznika Fizyka M. Skorki i z podręcznika J.M. Massalskich.
,,M. Skorko w swej Fizyce pisze tak: Wektor prędkości może być przedstawiony we współrzędnych prostokątnych za pomocą wielkości:

$$v_x=\frac{dx}{dt}\;, \;\;\; v_y=\frac{dy}{dt}\;, \;\;\; v_z=\frac{dz}{dt}\;.$$

Wówczas:

$$\mbox{\bf v}=\frac{\mbox{\bf dr}}{dt}=v_x \mbox{\bf i}+v_y \mbox{\bf j}+v_z \mbox{\bf k}\;,$$

gdzie: $\mbox{\bf i, j}$ oraz $\mbox{\bf k}$ są wersorami osi Ox, Oyi Oz.''

,,W Fizyce J.M. Massalskich czytamy: Wektor prędkości $\mbox{\bf v}$ma kierunek elementarnego wektora $d \mbox{\bf r}$, jest więc styczny do toru ruchu, a jego współrzędne v_x, v_y, v_z są pochodnymi wektora $\mbox{\bf r}(x, y, z)$ względem czasu.''

W powyższych definicjach $\mbox{\bf v}$ jako wektor swobodny określany jest przez swoje trzy (wymiar przestrzeni) współrzędne.

Te definicje brzmią różnie, one jednak są takie same, chociaż u Massalskich jest użyty skrót.

Dalej Reńda pisze:
,,Z kursu matematyki wiemy, że np. wektor $\Delta \mbox{\bf x}$określony jest przez jego współrzędną: $\Delta x = x_2-x_1\;.$ Należałoby sądzić, że można to zrobić także z wektorami  $\mbox{\bf v}$.''

,,W podręczniku A. Czerwińskiej i B. Sagnowskiej: Fizyka dla szkół średnich jest taki rysunek:

Rys.1

oraz stwierdzenie: v_x=4m/s-1 m/s=3 m/s.''

Słusznie zwraca uwagę W. Reńda, że takie określenie współrzędnych wektora prędkości jest niepoprawne i mylące. Autorki podręcznika fizyki, by być w zgodzie z określeniem wektora podawanym przez matematyków przeniosły określenie wektora jako uporządkowaną parę punktów (w przestrzeni prędkości x ma jednostki $\rm\frac{m}{s}$). (W książce iFizyka dla gimnzajum. Poradnik dla nauczycieli J. Salach podaje inne określenie współrzędnej wektora - str. KM-10).

Tymczasem wektor prędkości, tak jak i wektor siły jest już wektorem swobodnym i można go przenosić równolegle z punktu do punktu. Trzeba być świadomym, że to jednak sprawia uczniom dużą trudność, dla ucznia bowiem wektor $\mbox{\bf v}$ jest ,,przyczepiony'' do ciała. Ta trudność pojawia się przy zrozumieniu wyprowadzania wzoru na przyspieszenie dośrodkowe.

W ruchu po okręgu aby znaleźć różnicę (przyrost) przenosimy $\vec{v}_i$z punktu I (chwila początkowa) do punktu F (chwila końcowa). To przeniesienie jest dla wielu uczniów niezrozumiałe.

Rys.2

Dalszy ciąg wypowiedzi W. Reńdy dotyczy analizy hasła ,,wektor'' w encyklopediach, kompendiach i poradnikach. W. Reńda jak pies myśliwski tropi nieścisłości, różnice i brak konsystencji.

Wniosek jaki Pan Reńda wysnuwa z powyższych rozbieżności jest następujący: (cytuję)
,,Pojęcie współrzędnej można stosować dla wektorów położenia i przemieszczenia, ale nie należy tego robić w przypadku takich wektorów jak prędkość, przyspieszenie, siła. Do tych wektorów należałoby raczej stosować pojęcie miary wektora na danej osi''.

Wniosek W. Reńdy jest zbyt radykalny. Propozycja definicji wektora jako uporządkowanej pary punktów jest jedną z możliwych. Ma sens fizyczny dla wektora położenia. Faktycznie nie ma sensu fizycznego dla wektorów np. prędkości i siły. Jednakże $\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j} + v_z \vec{k}$ jest rozłożeniem wektora $\vec{v}$ na składowe; v_x, v_y, v_z oznaczają właśnie współrzędne kartezjańskie prędkości. Fizyka czerpie ze zasobów matematyki, ale nie oznacza to, że zawsze obiekty matematyczne mają sens fizyczny. Uczniowie np. są przyzwyczajeni do tego, że przy rozwiązywaniu zadań z kinematyki ujemne rozwiązania są odrzucane. Nie należy jednak wyciągać wniosku, że pojęcie współrzędnej siły, czy prędkości nie ma sensu i konieczne jest rozróżnianie innymi nazwami współrzędnych przesunięcia od współrzędnych prędkości, tak jak proponuje W. Reńda. Wszystkie problemy ,,nazewnicze'' znikają gdy pojęcie wektora swobodnego jest zrozumiałe, tzn. wiadomo jak dodawać wektory, rozkładać na składowe, transformować do innych układów współrzędnych, używać współrzędnych kartezjańskich i biegunowych. Zanim to nastąpi, uczący się napotyka na trudności poznawcze, przy pokonywaniu których ważna jest kolejność poszczególnych kroków, wybór definicji, rodzaje przykładów, terminologia.

Wydaje się, że najpoprawniejsza terminologia nie zapewni rozumienia jeśli nie będzie poparta wieloma przykładami i zadaniami. Praktyka pokazuje, że korzystanie z intuicji fizycznych (wektor - wielkość fizyczna, do opisu której potrzebna jest wartość, kierunek i zwrot) jest właściwą drogą. Po oswojeniu się z wektorami jako ,,strzałkami'' w późniejszym toku nauczania przyjdzie pora na inne, bardziej eleganckie, z punktu widzenia matematyki, określenie.

Podsumowując: moim zdaniem określanie wektorów jako obiektów, do opisu których potrzeba podać wartość, kierunek i zwrot jest najbardziej korzystne dla zrozumienia fizyki i najłatwiejsze. W następnym kroku należy pokazać reguły składania wektorów by przejść do składowych wektorów i współrzędnych (trudniejsze). Moim zdaniem nawet uczniowie gimnazjalni mogą uchwycić istotę wektorowości wielkości fizycznych. Zaznajomienie się z pojęciem wektora i rozróżnianie pomiędzy wiekościami fizycznymi i skalarnymi nie tylko jest ważnym elementem uchwycenia istoty i metod fizyki ale bardzo ułatwia dalszą naukę fizyki.